1. 集合

1.1 定义

朴素集合论中，对“集合”不给出定义。

空集：不包含任何元素的集合。

又可以定义为：

空集：任何对于此集合的元素所作的全称命题均为真。

全称命题：形如”对于所有的XX，某命题为真”
存在命题：形如”存在XX，使某命题为真”

其他：子集、真子集

集合A与B相等：\(A \subset B\) 且 \(A \supset B\)

1.2 基本运算

  • 并集
  • 交集

并集和交集满足定律

  • 分配律
    • \[A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)\]
    • \[A \cup (B \cap C) = (A \cap B) \cap (A \cup C)\]
  • 结合律
  • 交换律

其他集合

  • 差集
  • 补集
  • 全集

德摩根定律: \((A \cap B)^c = A^c \cup B^c\), \((A \cup B)^c = A^c \cap B^c\)

笛卡尔积(卡式积): 定义为集合：\(A \times B = \{(a, b) \mid a \in A, b \in B\}\)

不交并(disjoint unioin): 并集时对相同元素做区分, 即 \(A \sqcup B = (A \times \{0\}) \cup (B \times \{1\})\)

幂集: 子集的集合

1.3 关系

关系：定义在 A 上的关系，是 A 与自身卡式积的子集

偏序关系：A 上的偏序关系是 AXA 的子集 R 且符合

  1. 自反性: \(\forall a \in A\), 必有 \((a, a) \in R\)
  2. 反对称性: \((a, b) \in R\) 且 \((b, a) \in R\)，当且仅当 a = b
  3. 传递性

等价关系: 同偏序关系，但第2条为对称性: \((a, b) \in R \Rightarrow (b, a) \in R\)

定义 \([a] = \{ x \in A \mid x \sim a \}\), 等价关系相关定理：

\[[a] \cap [b] \neq \varnothing \Rightarrow a \sim b, and \, [a] = [b]\] \[[a] = [b] \Leftrightarrow a \sim b\]

即，多个等价类可以对一个集合A进行分割

商集：有等价关系～的类A，A/～ 定义为商集，由等价类组成集合，即 \(\{[a] \mid a \in A \}\)

1.4 映射

  • 映射 是 A X B 的子集 f，对任意 a，仅有一个 (a, b) 属于 f

  • A 为定义域，B 为培域，B 中一部分为值域

  • 单射
  • 满射
  • 双射（等势、一一对应）

定义：

给定 \(f: A \rightarrow B\)

\(\exists f^{-1}: 2^B \rightarrow 2^A\) 使对于一个 \(D \in 2^B\) 有 \(D \mapsto f^{-1}(D) = \{ x \in A \mid f(x) \in D \}\),

称 \(f^{-1}\) 为 f 的一个 拉回(pull-back) 或者 逆(inverse), \(f^{-1}(D)\) 为 D 上的纤维(fiber).

同理可以定义一个推出：

\[f:2^A \rightarrow 2^B, \, C \mapsto f(C) = \{ y \in B \mid y = f(x),\, x \in C\}\]

f 为一个推出，f(C) 为像.

卡式幂集: \(B^A\) 为从 A 到 B 的所有映射组成的集合。它与幂集存在一一对应(proof?)

Cantor-Bernstein-Schroder 定理: 如果集合 A 与 B 之间存在单射 \(f : A \rightarrow B\) 和 单射 \(g: B \rightarrow A\), 则它们之间存在一一对应(proof?)

定义良好

关于映射定义，需要检验是否真是一个映射（不可以有一个元素映射到多个元素）

2. 群

2.1 群定义

定义群：群是一个集合 G 及其上的一个二元运算 \(*: G \times G \rightarrow G\), 并且满足：

  • 结合律
  • 有恒等元素
  • 有逆元

若此群还满足交换律，则称为 Abel 群.

定理:

  • 恒等元素只有一个
  • 逆元只有一个
  • \[\forall a, b \in G, \, (ab)^{-1} = b^{-1}a^{-1}\]
  • 任意元素逆元的逆元是它本身

2.2 子群和生成

子群：当 H 是群 G 的一个子集并且乘法 * 限定到 H 上跟 H 也构成一个群的时候，我们称 H 为G 的 一个子群.

记作：\(H \le G\)

有如下定理:

  • G的恒等元素e属于H并且是H的恒等元素
  • a在H里的逆元素也是a在G里的逆元素

生成: 由S生成的子群为

\[<S> = \bigcap_{S \subset H \le G} H\]

即：包含S的子群之交。

S 为 <S> 的生成集，S 的元素为 <S> 的生成元素.

需证明子群集合 \(\{H_\alpha \mid \alpha \in I\}\)，则该集合元素的交也是一个S的子群.

  • 封闭
  • 结合
  • 单位元
  • 逆元